Можно разделить на 2

Признак делимости на 2, примеры, доказательство

Можно разделить на 2
Делимость, признаки делимости

В этой статье подробно разобран признак делимости на 2.

Сначала дана его формулировка, после чего приведены примеры его применения при выяснении, какие из целых чисел делятся на два. Дальше показано доказательство признака делимости на 2.

В заключение рассмотрены альтернативные способы, позволяющие установить делимость на 2 чисел, заданных в виде значений некоторых выражений.

Признак делимости на 2, примеры

Чтобы говорить о признаках делимости вообще и, в частности, о признаке делимости на 2, необходимо иметь общее представление о делимости целых чисел.

Формулировка признака делимости на 2 такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то это число делится на 2 нацело, если же запись целого числа оканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7 или 9, то такое число не делится на 2 без остатка.

Отметим, что озвученный признак делимости на 2 позволяет проверять как целые положительные числа (натуральные числа), так и целые отрицательные на их способность делиться на 2 без остатка.

Теперь можно рассмотреть примеры использования признака делимости на 2.

Какие из данных чисел 8, −946, 53, 10 900, −988 123 761 делятся на 2?

Несомненно, можно разделить каждое из данных чисел на 2 (например, выполнив деление столбиком), откуда будет видно, делится ли число на 2 без остатка или с остатком. Однако признак делимости на 2 позволяет ответить на вопрос задачи намного быстрее.

Так как числа 8, −946, 10 900 оканчиваются цифрами 8, 6 и 0 соответственно, то они делятся на 2 без остатка. В свою очередь числа 53 и −988 123 761 не делятся нацело на 2, так как оканчиваются на 3 и 1 соответственно.

8, −946 и 10 900 делятся на 2, а 53 и −988 123 761 не делятся на 2.

Разберем пример разложения числа на простые множители, в котором удобно и целесообразно применять признак делимости на 2.

Разложите число 352 на простые множители.

Так как запись числа 352 последней цифрой имеет 4, то из признака делимости на два можно утверждать, что это число делится на 2. Имеем 352:2=176 и 352=2·176. Очевидно, 176 тоже делится на 2. Имеем 176:2=88 и 176=2·88, тогда 352=2·176=2·2·88.

Так как 88 оканчивается цифрой 8, то это число делится на 2. Получаем 88:2=44, откуда 88=2·44 и 352=2·2·88=2·2·2·44. Число 44 также делится на 2, имеем 44:2=22 и 44=2·22, следовательно, 352=2·2·2·44=2·2·2·2·22.

И опять признак делимости на 2 позволяет нам утверждать, что 22 делится на 2, получаем 22:2=11, откуда 22=2·11 и 352=2·2·2·2·22=2·2·2·2·2·11. А вот число 11 оканчивается цифрой 1, следовательно, не делится на 2.

Обратившись к таблице простых чисел, мы обнаружим, что 11 – простое число. Так мы получили требуемое разложение числа 352, оно имеет вид 352=2·2·2·2·2·11.

Целые числа в зависимости от их делимости или неделимости на 2 разделяют соответственно на четные и нечетные числа. В силу признака делимости на 2 можно утверждать, что запись любого четного числа оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8, а нечетного – на 1, 3, 5, 7, 9.

К началу страницы

Перед доказательством признака делимости на 2 докажем вспомогательное утверждение: любое натуральное число a, запись которого оканчивается цифрой 0, делится на 2.

Правило умножения натурального числа на 10 позволяет представить число a в виде a=a1·10, где число a1 получается из числа a, если в его записи убрать последнюю цифру (например, 450=45·10, здесь a=450 и a1=45; 390 200=39 020·10, здесь a=390 200 и a1=39 020). В произведении a1·10 множитель 10 делится на 2 (так как 10=2·5), следовательно, все произведение делится на 2 в силу соответствующего свойства делимости.

Теперь можно рассмотреть доказательство признака делимости на 2. Для удобства переформулируем признак делимости на 2, озвученный в первом пункте этой статьи, в виде необходимого и достаточного условия делимости целого числа на 2 и докажем его.

Чтобы целое число a делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы в записи числа a последней цифрой была 0, 2, 4, 6 или 8.

Число a всегда можно представить в виде суммы целого числа десятков и числа единиц, то есть, в виде a=a1·10+a0, где a1 – число, полученное из числа a, если в его записи убрать последнюю цифру, а a0 – число, соответствующее последней цифре в записи числа a (для пояснения приведем примеры таких представлений: 46=4·10+6, 24 328=2 432·10+8). В равенстве a=a1·10+a0 произведение a1·10 всегда делится на 2, что мы показали перед этой теоремой.

Все дальнейшее доказательство базируется на следующем свойстве делимости: если два из трех целых чисел в равенстве t=u+v делятся на некоторое целое число z, то и третье число тоже делится на z.

Если a делится на 2, то из указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 следует, что a0 делится на 2, а это возможно лишь для a0 равного 0, 2, 4, 6 или 8. Если же a не делится на 2, то опять же в силу указанного свойства делимости число a0 не может делиться на 2 (иначе бы a делилось на 2), а это возможно только при a0 равном 1, 3, 5, 7 или 9. Этим доказана необходимость.

Теперь обратно. Если число a оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8, то a0 делится на 2. Поэтому в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 можно сделать вывод о делимости числа a на 2.

Если же a оканчивается на одну из цифр 1, 3, 5, 7 или 9, то a0 не делится на 2, поэтому a тоже не делится на 2. В противном случае в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 число a0 делилось бы на 2, что невозможно.

Этим доказана достаточность.

В заключение этого пункта отметим, что числа, записи которых оканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7 или 9 при делении на 2 всегда дают остаток 1.

Действительно, пусть запись числа a оканчивается одной из указанных цифр. Число a можно представить как a=b+1, при этом число b будет оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8.

Тогда в силу признака делимости на 2, число b делится на 2, следовательно, по определению делимости может быть представлено в виде b=2·q, где q – некоторое целое число. Тогда a=2·q+1.

Полученное представление показывает, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (при необходимости смотрите теорию из раздела деление целых чисел с остатком).

К началу страницы

В этом пункте мы хотим коснуться случаев, в которых целое число задано не непосредственно, а в виде некоторого значения буквенного выражения, и нужно определить, делится ли данное число на 2 или нет. Обычно в этих случаях признак делимости на 2 не помогает, также не представляется возможным выполнить и непосредственное деление. Следовательно, нужно искать какие-то другие пути решения.

Один из подходов к решению таких задач подсказывает следующее свойство делимости: если хотя бы один из множителей в произведении целых чисел делится на данное число, то и все произведение делится на это число. Таким образом, если мы представим исходное буквенное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 2, то этим будет доказана делимость исходного числа 2.

Представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей иногда помогает формула бинома Ньютона. Рассмотрим решение примера.

Делится ли значение выражения , вычисленное при некотором натуральном n, на 2?

Очевидно равенство . Теперь воспользуемся формулой бинома Ньютона, после чего упростим полученное выражение:

В последнем выражении можно 2 вынести за скобки, в итоге имеем равенство . При любом натуральном n правая его часть делится на 2, так как содержит множитель 2, следовательно, на 2 делится и левая часть равенства.

Во многих случаях для доказательства делимости на 2 используется метод математической индукции. Возьмем выражение из предыдущего примера и докажем методом математической индукции, что при любых натуральных n его значение делится на 2.

Докажите, что значение выражения при любом натуральном n делится на 2.

Воспользуемся методом математической индукции.

Во-первых, покажем, что значение выражения делится на 2 при n=1. Имеем , а 6 очевидно делится на 2.

Во-вторых, предположим, что значение выражения делится на 2 при n=k, то есть, – делится на 2.

В-третьих, исходя из того, что делится на 2, докажем, что значение выражения делится на 2 при n=k+1. То есть, докажем, что делится на 2, учитывая, что делится на 2.

Для этого выполним следующие преобразования: . Выражение делится на 2, так как делится на 2, выражение тоже делится на 2, так как содержит множитель 2, следовательно, в силу свойств делимости разность этих выражений тоже делится на 2.

Этим доказано, что при любом натуральном n значение выражения делится на 2.

Отдельно следует сказать о том, что если в произведении присутствуют два числа, которые идут друг за другом в натуральном ряду чисел, то такое произведение делится на 2. Например, произведение целых чисел вида (n+7)·(n−1)·(n

Источник: http://www.cleverstudents.ru/divisibility/divisibility_rule_for_2.html

Урок 2 Бесплатно Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Можно разделить на 2

В этом уроке мы познакомимся с признаками делимости, узнаем, как определить делится ли число на 2, на 5 или на 10

Мы изучим правило, которое позволит без деления, по внешнему виду числа узнать, будет ли оно делиться на другое число без остатка.

Некоторые из признаков делимости были известны с древних времен, например, признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10

Некоторые из них использовали в Египте еще 4000 лет назад.

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи (1170-1228) в своих работах подробно описал признаки делимости на 2, 3 и 5.

Натурально число, в записи которого последняя цифра 0, делится на 10 без остатка.

Для этого нужно всего лишь отбросить этот 0.

Например, 150 делится на 10 без остатка, так как 150 : 10 = 15

Если же возьмем 154 и поделим на 10, то получим неполное частное 15 и в остатке 4

То есть, если на конце числа стоит не 0, а любая другая цифра, тогда это число на 10 без остатка не делится.

Если натуральное число на конце содержит 0, то оно точно делится на 10

Если же на конце натурального числа любая другая цифра, но на 10 оно без остатка не делится!

Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Пример 1

Вася принес несколько упаковок печенья, по 10 штук в каждой упаковке.

Может ли быть так, что он принес всего 123 штуки печенья? 105 штук печенья? 70 штук печенья?

Решение:

123 : 10 = 12 (остаток 3)- значит, столько штук не может быть, так как по условию в упаковке содержится 10 штук печенья и количество упаковок – целое число.

105 : 10 = 10 (остаток 5)- значит, столько штук не может быть, так как по условию в упаковке содержится 10 штук печенья и количество упаковок – целое число.

70 : 10 = 7– значит, столько штук Вася мог принести в пачках, так как по условию количество упаковок – целое число.

Пример 2

Можно ли, используя только цифры 1, 3, 5 записать число, делящееся на 10?

Решение:

Нет, так как неважно, какое число мы составим, всё равно на конце не будет 0, так как среди указанных цифр нет 0.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Признак делимости на 10 работает и при делении на 100, 1000, 10000 и так далее.

Просто нужно убирать нужное количество нолей.

Разберемся получше.

Число 8100 делится на 100, потому что на конце два ноля.

72000 делится на 1000, достаточно убрать с конца три ноля.

Число 10 это сумма двух пятёрок, или можно записать так: \(\mathbf{10=2\cdot5}\)

Получается, что 10 делится нацело на пять.

Какое бы мы не взяли число, его всегда можно разложить на сумму десятков и единиц, например:

347 = 340 + 7

1735 = 1730 + 5

Любые десятки всегда делятся на 5, ведь они оканчиваются на ноль.

Значит, делимость всего числа на 5 будет зависеть от единиц: если единицы делятся на 5, то и всё число целиком будет делиться на 5.

Это работает, если в разряде единиц стоит 5 или 0

Например, 1895 делится нацело на 5, ведь в разряде единиц стоит пятёрка.

Если в записи натурального числа в разряде единиц стоит 0 или 5, такое число делится на 5 без остатка.

Если же в разряде единиц стоит любая другая цифра, то при делении на 5 обязательно получится остаток.

Пример 1

Купили пять одинаковых коробок ручек.

Может ли быть в них всего: 47 ручек? 15 ручек? 32 ручки?

Решение:

47 : 5 = 9 (остаток 2)- значит, столько ручек не может быть

15 : 5 = 3– значит, по 3 ручки в каждой из 5 коробок

32 : 5 = 6 (остаток 2)- значит, столько ручек не может быть

Пример 2

Можно ли, используя только цифры 3, 8, 5, записать число, делящееся на 5?

Решение:

Не всегда. Можно, если в разряд единиц поставить 5, например, 385 или 835

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

На признаке делимости на 5 построен признак делимости на 25.

Мы знаем, что \(\mathbf{25=5\cdot5}\)

Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5; а на 25, если оканчивается на 00 или на 25.

Например:

100 : 25 = 4 (исходное число 100 оканчивалось двумя нолями)

225 : 25 = 9 (две последние цифры числа 225 были 25)

Число 10 можно разложить на пять двоек.

 \(\mathbf{10=5\cdot2}\)

Это означает, что десять всегда делится нацело на 2.

Если натуральное число делится нацело на 2, оно называется чётным.

Если же появляется остаток 1, тогда такое число называют нечётным.

Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны.

Поэтому и цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9– нечётными.

Полный десяток всегда является чётным числом, т.к. делится на 2 без остатка.

Если в разряде единиц стоит чётная цифра, значит, число будет чётным.

И наоборот, если в разряде единиц стоит нечётная цифра, то и само число будет нечётным.

Довольно легко запомнить!

Когда в записи натурального числа на конце стоит чётная цифра, то такое число чётное (делится нацело на 2), а если в записи числа на конце стоит нечётная цифра, то это число нечётное.

Например, числа:

2, 88, 174, 2374 четные

3, 37, 541, 2391 нечетные

Пример 1

Можно ли, используя только цифры 2, 3, 4, 5, 7, записать число, делящееся на 2?

Решение:

Не всегда. Можно, если в разряд единиц поставить 2 или 4, например: 32574 или 73542

Можно придумать и другие числа, меняя местами предложенные цифры, но всегда в разряде единиц должны стоять четные.

Пример 2

Найдите среди чисел 154, 161, 174, 178, 191, 315, 320, 346, 425, 475 числа, кратные 2

Решение:

По признаку делимости на 2, нам надо выбрать только четные числа.

Значит, выбираем 154, 174, 178, 320, 346

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Во многих странах есть традиции с четным или нечетным количеством.

Например, в США, Европе и некоторых восточных странах принято, что чётное количество подаренных цветов приносит счастье.

В России же, наоборот, живым людям дарят нечётное количество цветов.

В университетах со сложным расписанием занятий применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий, а также время их начала и окончания.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662)

Ему принадлежит так называемый признак Паска́ля – метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число, это своего рода «универсальный признак делимости».

Например, был получен интересный факт, с помощью которого научились определять, делится ли число на 11 (то есть получили признак делимости на 11).

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

Например, число 182919 делится на 11, так как 1 – 8 + 2 – 9 + 1 – 9 = -22 делится на 11

То есть мы последовательно перебираем цифры числа, чередуя знаки плюс и минус, затем считаем итог и смотрим, делится ли он на 11.

Если да, то и исходное число делится на 11.

С помощью признака Паскаля был получен и признак делимости на 7.

Не будем вдаваться в тонкости, распишем кратко, как он работает:

для любого числа 

$$\mathbf{…a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1}$$

его остаток от деления на 7 равен

 $$\mathbf{a_1+3\cdot{a_2}+2\cdot{a_3}+6\cdot{a_4}+4\cdot{a_5}+5\cdot{a_6}+a_7+3\cdot{a_8}+…}$$

Многоточие в конце означает, что дальше будет повторение множителей,  а \(\textbf{a}_\textbf{1}\), \(\textbf{a}_\textbf{2}\)и другие это любые цифры от 0 до до 9

Кажется сложным, но давайте попробуем.

Проверим, делится ли число 48916 на 7

Используем наше правило и берем цифры с конца, умножая где нужно на число из формулы выше

\(\mathbf{6+3\cdot1+2\cdot9+6\cdot8+4\cdot4=6+3+18+48+16=91}\)

91 делится на 7 (можете проверить сами, разделив уголком)

Значит 48916 делится на 7

Пройти тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/priznaki-delimosti

Признак делимости на 2: примеры, доказательство

Можно разделить на 2

Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на 2. В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на 2. Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.

Формулировка и примеры признака делимости на 2

Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:

Определение 1

Целое число, которое заканчивается цифрами 8, 6, 4, 2 и 0, может быть разделено на 2 без остатка. Если в конце числа стоит цифра 9, 7, 5, 3 или 1, то такое число делимостью на 2 не обладает.

С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на 2 без остатка.

Приведем несколько примеров использования признака в задачах.

Пример 1

Условие: определите, какие из чисел 8, −946, 53, 10 900, −988 123 761 можно разделить на два.

Решение

Разумеется, мы можем просто разделить все эти числа на два в столбик и проверить, будет ли в конце остаток или нет. Но зная признак делимости на два, можно решить эту задачу гораздо быстрее.

Три числа из перечисленных, а именно 8, -946 и 10 900, имеют в конце цифры 8, 6 и 0, значит, их деление на 2 возможно.

Остальные числа (53 и −988 123 761) заканчиваются на 3 и 1, значит, нацело на два они не делятся.

Ответ: на два можно разделить 8, −946 и 10 900, а все прочие заданные числа нельзя.

Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.

Пример 2

Условие: выполните разложение 352 на простые множители.

Решение

Поскольку последняя цифра в исходном числе – 2, то согласно признаку делимости, мы можем разделить его на два без остатка. Сделаем это: 352:2=176, а 352=2·176. Полученное число 176 тоже делится на два: 176:2=88, а 176=2·88. Это число тоже можно разделить: 88:2=44, 88=2·44 и 352=2·2·88=2·2·2·44.

Продолжаем разложение: 44:2=22 и 44=2·22, следовательно, 352=2·2·2·44=2·2·2·2·22; потом 22:2=11, откуда 22=2·11 и 352=2·2·2·2·22=2·2·2·2·2·11. Наконец мы дошли до числа, которое на 2 не делится.

Таблица простых чисел говорит нам, что это число является простым, значит, на этом разложение на множители заканчивается.

Ответ: 352=2·2·2·2·2·11.

Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на 2 или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру 0, 2, 4, 6 или 8, а все нечетные – 1, 3, 5, 7 или 9.

Как можно доказать признак делимости на 2

Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:

Определение 2

Все натуральные числа, которые заканчиваются на нуль, могут быть разделены на два без остатка.

Пользуясь правилом умножения натурального числа на 10, мы можем представить некое число a как a=a1·10. Число a1, в свою очередь, получится из a, если убрать у него последнюю цифру.

Приведем примеры такого действия: 470=47·10, где a=470 и a1 =47; или же 38 010·10, здесь a=380 100 и a1=38 010. Второй множитель в этом произведении (10) может быть разделен на 2, значит, все произведение может быть разделено на 2. Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.

Переходим к доказательству признака делимости на 2. Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.

Теорема 1

Для деления целого числа a на два необходимым и достаточным условием является наличие последней цифры 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство 1

Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число a в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как a=a1·10+a0.

Здесь a1 будет числом, получившимся из a при устранении последней цифры, а a0 соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения 49=4·10+9, 28 378=2 837·10+8).

Произведение a1·10, взятое из равенства a=a1·10+a0, всегда будет делиться на два, что и показано с помощью этой теоремы.

Остальная часть доказательства основана на определенном свойстве делимости, а именно: если у нас есть три числа, образующие равенство t=u+v, и два из них делятся на целое число z, то и третье число также можно разделить на z.

Если a можно разделить на два, то согласно этому свойству, а также представлению a=a1·10+a0, число a0 будет делиться на два, а такое возможно, только если a0= 0, 2, 4, 6 или 8.

А если a на 2 не делится, то исходя из того же самого свойства, число a0 на 2 тоже делиться не будет, что возможно только при a0 = 1, 3, 5, 7 или 9. Это и есть нужное нам доказательство необходимости.

Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число a, последней цифрой которого является число 0, 2, 4, 6 или 8, то a0 делится на 2.

Указанное свойство делимости и представление a=a1·10+a0 позволяют нам заключить, что a делится на 2.

Если a имеет последнюю цифру 1, 3, 5, 7 или 9, то то a0 не делится на 2, значит, a тоже не делится на 2, иначе само представление a=a1·10+a0 делилось бы на 2, что невозможно. Достаточность условия доказана.

В конце отметим, что числа с последней цифрой 1, 3, 5, 7 или 9 при делении на два всегда дают в остатке единицу.

Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как a=b+1, при этом число b будет иметь в качестве последней цифры 0, 2, 4, 6 или 8.

В силу признака делимости на 2 число b можно разделить на 2, значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде b=2·q, где q будет некоторым целым числом. Мы получили, что a=2·q+1.

Данное представление показывает нам, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).

Прочие случаи определения делимости на 2

В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на 2 нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на 2 тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.

Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей.

Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на 2 и исходного выражения.

Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.

Пример 3

Условие: определите, можно ли разделить на 2 значение выражения 3n+4n-1 для некоторого натурального n.

Решение

Сначала запишем очевидное равенство 3n+4n-1=2+1n+4n-1. Теперь берем формулу бинома Ньютона, применяем ее и упрощаем то, что у нас получилось:

3n+4n-1=2+1n+4n-1==Cn0·2n+Cn1·2n-1·1+⋯+Cnn-2·22+1n-2+Cnn·2+1n-1+Cnn·1n++4n-1=2n+Cn1·2n-1+…+Cnn-2·22+n·2+1++4n-1=2n+Cn1·2n-1+…+Cnn-2·22+6n

В последнем равенстве выносим два за скобки и получаем следующее равенство:

3n+4n-1=2·2n-1+Cn1·2n-2+…+Cnn-2·2+3n

В данном равенстве можно разделить правую часть на два при любом натуральном значении n, поскольку там есть множитель, равный 2. Поскольку между выражениями стоит знак равенства, то выполнить деление на 2 можно и для левой части.

Ответ: данное выражение можно разделить на 2.

Опиши задание

Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.

Пример 4

Условие: выясните, будет ли выражение 3n+4n-1  делиться на 2 при любом натуральном значении n.

Решение

Используем математическую индукцию. Для начала докажем, что значение выражения 3n+4n-1 при n, равном единице, можно разделить на 2.  У нас получится 31+4·1-1=6, шесть делится на два без остатка. Идем дальше. Возьмем n, равное k, и сделаем предположение, что 3k+4k-1 делится на два.

Используя данное предположение, докажем, что 3n+4n-1  можно разделить на 2, если это возможно для 3k+4k-1. Чтобы это доказать, нам нужно выполнить несколько преобразований.

3·3k+4k-1  делится на два, поскольку это возможно для 3k+4k-1, выражение 2·4k-3 тоже можно поделить на 2, потому что у него есть множитель 2, значит, разность этих двух выражений тоже делится на 2, что объясняется соответствующим свойством делимости.

Ответ: выражение 3n+4n-1 делится на 2 при любом натуральном n.

Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.

Пример 5

К примеру, выражение вида  (n+7)·(n−1)·(n+2)·(n+6) делится на 2 при любом натуральном значении n, поскольку в нем есть числа, идущие в натуральном ряду друг за другом – это n+6 и n+7.

Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на 2. Так, на два делится значение (n+1)·(n+6) при любом натуральном n, поскольку между n+5 и n+6 расположено четное количество чисел: n+2, n+3, n+4 и n+5.

Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при n=2·m, а также при n=2·m+1 и произвольном целом m, то это будет доказательством делимости исходного выражения на 2 при любых целых значениях n.

Пример 6

Условие: выясните, делится ли на 2 выражение n3+7·n2+16·n+12 при любых натуральных значениях n.

Решение

Сначала представим данное выражение в виде произведения (n+2)2·(n+3). При необходимости повторите, как правильно раскладывать многочлен на множители. Мы имеем два множителя n+2 и n+3, которые соответствуют числам, стоящим рядом в натуральном ряду. Одно из них в любом случае делится на 2, значит, и все произведение тоже делится на 2. То же относится и к исходному выражению.

У этой задачи есть и другое решение. Если n=2·m , то n+22·n+3=2m+22·2m+22=4·m+12·2m+3 . Здесь есть множитель, равный четырем, благодаря чему все произведение будет делиться на 2.

Если же n=2·m+1 , то

(n+2)2·n+3=2m+1+22·2m+1+3=2m+32·2m+4==2m+32·2·2

Здесь присутствует множитель 2, значит, все произведение обладает делимостью на 2.

Ответ: это и есть доказательство того, что выражение n3+7·n2+16·n+12=(n+2)2·(n+3) можно разделить на два при любом натуральном значении n.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/priznak-delimosti-na-2/

Признаки делимости чисел – правила и примеры решений

Можно разделить на 2

На единицу делится любое целое число.

Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.

Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное. Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.

Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.

Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388.

Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка.

Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.

Правило делимости на четыре звучит так: если две последние цифры номера кратны четырем либо оно в конце имеет два нуля, то отношение получится без остатка.

Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю. А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.

Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.

Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.

Свойства делителей от 6 до 10

Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.

Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.

Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.

Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:

  • 2*9=18.
  • 67−18=49.
  • 49:7=7.

Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.

В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:

  • 2*7=14.
  • 49−14=35.
  • 35:7=5.

Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.

Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.

Разрядные единицы

Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль. Еще примеры:

  • 4958700:100=49587.
  • 374000:1000=374.
  • 5781000:100=5781.
  • 97430:10=9743.

Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.

Делители от 11 и выше

Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.

Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.

Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:

Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:

  • 7+0+9=16.
  • 4+1=5.
  • 16−5=11.

В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:

Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.

Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3.

В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет.

Таким образом, оба примера кратны 12.

Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.

Например, 6942:

  • 2*4=8.
  • 694+8=702.
  • 702:13=54.

Еще пример — 754:

  • 4*4=16.
  • 75+16=91.
  • 91:13=7.

Признак делимости на составное число

Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.

Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.

Таблица кратных от 2 до 10

Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10. Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:

Делимость на: Признак числа:
2 Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8
3 Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3
4 Две последние цифры делятся на 4
5 Окончание на 5 или 0
6 Одновременная кратность 2 и 3
8 Три последние цифры кратны 8
9 Сумма цифр кратна 3
10 Окончание равно нулю

Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.

Источник: https://nauka.club/matematika/priznaki-delimosti.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.